Ecuación de Bernoulli

Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S₂ se ha desplazado v₂ Dt y la cara anterior S₁ del elemento de fluido se ha desplazado v₁Dt hacia la derecha.

El elemento de masa Dm se puede expresar como   Dm=r S₂v₂Dt=r S₁v₁Dt= r DV
Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Dt. Observamos que el elemento Dm incrementa su altura, desde la altura y₁ a la altura y₂

• La variación de energía potencial es DE_p=Dm·gy₂-Dm·gy₁=r DV·(y₂-y₁)g

El elemento Dm cambia su velocidad de v₁ a v₂,

• La variación de energía cinética es DE_k =

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F₁=p₁S₁ y F₂=p₂S₂.
La fuerza F₁ se desplaza Dx₁=v₁Dt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo
La fuerza F₂ se desplaza Dx₂=v₂ Dt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

• El trabajo de las fuerzas exteriores es W_ext=F₁ Dx₁- F₂ Dx₂=(p₁-p₂) DV

El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas
W_ext=E_f-E_i=(E_k+E_p)_f-(E_k+E_p)_i=DE_k+DE_p
Simplificando el término DV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli